v[
        x_] := -1/(1 + x^2)

    Plot[v[x], {x, -5, 5}]

\(\(\( (*\ 
      plot\ solution\ of\ schreodinger\ equation\ for\ trial\ e\ *) \)\(
\)\( (*\ 
      note : \ all\ numerical\ constants\ \((hbar, m,  .. )\) == 
          1\ \ \ \ \ \ \ \ *) \)\(
\)\( (*\ \(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(----\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\ *) \)\(
\)\(plotsol[e_] := 
      Block[{x0 = 10}, 
        sol = NDSolve[{\(-\(psi''\)[x]\) + \((v[x] - e)\)*psi[x] == 0, 
              psi[\(-x0\)] == 0.001, \(psi'\)[\(-x0\)] == 0.001}, 
            psi, {x, \(-x0\), x0}]; 

        Plot[Evaluate[psi[x] /. sol], {x, \(-x0\), x0}]]\)\)\)

(* 
      you can play with this ! *) 
 (* ------------------------ *) 
plotsol[-0.437]

\(\(\( (*\ 
      shooting\ method\ *) \)\(
\)\( (*\ \(--\(--\(--\(--\(-\(-\(--\(---\)\)\)\)\)\)\)\)\ *) \)\(
\)\(shoot[e_] := 
      Block[{x0 = 10}, 
        sol = NDSolve[{\(-\(psi''\)[x]\) + \((v[x] - e)\)*psi[x] == 0, 
              psi[\(-x0\)] == 0.001, \(psi'\)[\(-x0\)] == 0.001}, 
            psi, {x, \(-x0\), x0}]; 
psi[x0] /. sol]\)\)\)

Plot[shoot[e], {e, -0.6, 0}, 
      PlotRange -> {-10, 10}]

(* 
      find ground state energy *) 
 (* ------------------------ *) 
Off[NDSolve::ndnum]

    Off[NDSolve::dsvar]

    Off[ReplaceAll::reps]

    e0 = e /. FindRoot[shoot[e] == 0, {e, -0.5}]

    plotsol[e0]

\(\(\( (*\ 
      look\ at\ solutions\ for\ e0\  + \(\(/\)\(-\ 
            de\)\)\ *) \)\(
\)\( (*\ \(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(--\(---\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\)\ *) \)\(
\)\(\(x0 = 10;\)

    e = e0; 
    sol0 = NDSolve[{\(-\(psi''\)[x]\) + \((v[x] - e)\)*psi[x] == 0, 
          psi[\(-x0\)] == 0.001, \(psi'\)[\(-x0\)] == 0.001}, 
        psi, {x, \(-x0\), x0}];

    \(e = e0 + 0.01;\)

    \(sol1 = 
        NDSolve[{\(-\(psi''\)[x]\) + \((v[x] - e)\)*psi[x] == 0, 
            psi[\(-x0\)] == 0.001, \(psi'\)[\(-x0\)] == 0.001}, 
          psi, {x, \(-x0\), x0}];\)

    \(e = e0 - 0.01;\)

    \(sol2 = 
        NDSolve[{\(-\(psi''\)[x]\) + \((v[x] - e)\)*psi[x] == 0, 
            psi[\(-x0\)] == 0.001, \(psi'\)[\(-x0\)] == 0.001}, 
          psi, {x, \(-x0\), x0}];\)

    Plot[{Evaluate[psi[x] /. sol1], Evaluate[psi[x] /. sol2], 
        Evaluate[psi[x] /. sol0]}, {x, \(-x0\), x0}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1], 
          Thickness[0.01]}, PlotRange -> {\(-0.3\), 0.5}]\)\)\)